2つの円の半径と中心間の距離の関係

中心間の距離$d$と2つの円の半径$r_1,r_2$について

• $d<|r_1-r_2|$：一方が含まれる
• $d=|r_1-r_2|$：内接する
• $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$：2点で交わる
• $d=r_1+r_2$：外接する
• $d>r_1+r_2$：離れている

距離の計算に平方根を使わずに関係を調べる

距離$d$の計算には三平方の定理から斜辺の平方根をとって調べることができるが、コンピュータ上ではコストのかかる計算となる。 知りたいのは距離そのものではなく関係であることに注目すると、上記の関係式の両辺を二乗したものを利用できる。

中心座標の差を $dx=x_2-x_1$、$dy=y_2-y_1$ とすると、中心間の距離の二乗は $d^2=d{x}^2+d{y}^2$ で求められる。

したがって、平方根を使わずに

• $d^2<(r_1-r_2{)}^2$：一方が含まれる
• $d^2=(r_1-r_2{)}^2$：内接する
• $(r_1-r_2{)}^2<d^2<(r_1+r_2{)}^2$：2点で交わる
• $d^2=(r_1+r_2{)}^2$：外接する
• $d^2>(r_1+r_2{)}^2$：離れている

と判定できる。

References

• https://manabitimes.jp/math/745#section-2